1893 senesinde Samsun'un Çarşamba ilçesinde dünyaya geldi. İlkokuldan Çarşamba'da, ortaokuldan İstanbul'da mezun oldu. 1. Dünya savaşı'nın başlamasıyla eğitimini yarıda bıraktı ve yedek subay olarak askere gitti. 4 sene boyunca Kafkas cephesinde görev yaptı. Eğitimini tamamlamak için gittiği Fransa'da liseyi okudu. Sonrasında Paris Üniversitesi Hukuk Fakültesi'nde eğitimini tamamladı. Paris Edebiyat Fakültesi felsefe bölümü ile Paris Siyasi İlimler Merkezi'ni bitirdi. Türkiye'ye geri dönerek İstanbul Üniversitesi'nde Anayasa Hukuku dersleri verdi. Adalet Partisi'yle siyasete atıldı. 15 Ekim 1961 seçimlerinde AP listesinden bağımsız Samsun milletvekili seçildi.
Cumhurbaşkanlığı'na adaylığını koyması, Cemal Gürsel'in cumhurbaşkanlığında ısrar eden askeri kesimden yoğun tepkiyle karşılaştı. 24 Ekim 1961 gecesi Fahri Özdilek ve Sıtkı Ulay tarafından götürüldüğü Başbakanlık'a bazı Milli Birlik Komitesi üyesi subaylarınca "hayatınızı garanti edemeyiz" denilerek tehdit edilmesinden sonra adaylığından vazgeçti. Cumhuriyet Senatosu üyeliğinden de istifa etti ve yurt dışına çıktı. Cenevre Üniversitesi'nde dersler verdi. Aynı üniversitede Türk Dili ve Türk Tarihi Kürsüleri'nde başkanlık yaptı. Adalet Partisi'nin %52 oy oranıyla tek başına kazandığı 1965 yılı seçimlerinde Türkiye'ye geri döndü ve İstanbul milletvekili seçildi. Başgil 17 Nisan 1967'de İstanbul'da hayatını kaybetti. Cenazesi Karacaahmet Mezarlığı'nda toprağa verildi.
ESERLERİ
La Vie Juridique des Peuples
Klasik Ferdî Hak ve Hürriyetler Nazariyesi ve Muasır Devletçilik Sistemi
Esas Teşkilat Hukuku Dersleri
Türkiye İş Hukuku
Hukukun Ana Müessese ve Meseleleri
Cihan Sulhu ve İnsan Hakları
Türkçe Meselesi
Vatandaş Hürriyeti ve Bunun Teminatı
Demokrasi ve Hürriyet
Gençlerle Başbaşa
Din ve Laiklik
Vatandaş Hak ve Hürriyetlerinin Korunması ve Anayasamızın Eksiklikleri
27 Mayıs İhtilâli ve Sebepleri