1993 yılında Ankara Üniversitesi Tıp Fakültesi'nde tıbbiye eğitimine başladı. 2000 yılında Ankara Onkoloji Eğitim ve Araştırma Hastanesi'nde genel cerrahi ihtisasına başladı ve 2004 yılında ihtisasını tamamladı. Alper Çelik 2005 yılında Tokat Gaziosmanpaşa Üniversitesi'nde önce öğretim görevlisi sonrasında Yrd. Doç. Dr. olarak öğretim üyeliği yaptı.

2007 yılında Prof. Dr. Fumio Konishi'nin davetlisi olarak Japonya Saitama Medical Center of Jichi Medical University'de clinical and research fellow olarak çalıştı. Bu sürede iki adet araştırma projesi tamamladı ve aynı dönemde Dr. Kazunori Kasama ile çalışma ve araştırma yapma imkanı buldu. 2008 yılında öncelikle Brezilya Sao Paolo Sao Camilio Hospital'de Dr. Ricardo Cohen ve Dr. Louis Berti ile çalışma olanağı buldu. Sonrasında Hindistan'da Dr. Muffazal Lakdawala ve Dr. Suren Ugale ile çalıştı.

2008 yılında 1. ACMOMS (1st Asian Consensus Meeting on Metabolic Surgery) toplantısına oylama üyesi olarak katıldı. 18 Aralık 2009 tarihinde Etimesgut Askeri Hastanesi tarafından düzenlenen Metabolik Sendrom Sempozyumu'nda konuşmacı olarak görev aldı. Alper Çelik 2010 yılında öncelikle Hindistan Hyderabad kentinde Ileal İnterpozisyon Operasyonu ile ilgili 1. Dünya Workshop uygulamasına katıldı ve bu ameliyat ile ilgili olarak Dr. Surendra Ugale ve Dr. Aureo DePaula ile çalışma imkânı buldu. 2011 yılında Japonya'da yapılan IFSO-APC (International Federation For Surgical Treatment of Obesity and Related Disorders-Asia Pacific Chapter) toplantısında oturum başkanlığı ve konsensus konferansında oylama üyeliği yaptı. 31 Ağustos – 3 Eylül 2011 tarihleri arasında Almanya Hamburg'da düzenlenen 16. Dünya Kongresi'ne katıldı. 2011 yılı Haziran ayında Doçent olan Alper Çelik, Eylül 2011'de Universal Taksim Alman Hastanesi bünyesinde Metabolik Cerrahi Ünitesi'ni kurdu. 2012 yılında Metabolik Cerrahi Akademisi'ni, 2013 yılında Metabolik Cerrahi Derneği'ni, 2014 yılında İstanbul Metabolik Cerrahi Kliniğini ve Türkiye Metabolik Cerrahi Vakfı'nı kurdu. 2015 yılında Ulusal Obezite Veritabanı'nı kurdu ve 2016 yılında da Profesör Doktor ünvanına layık görüldü. Prof. Dr. Alper Çelik 12 yılı aşkın bir süredir Diyabet Cerrahisi, Bariatrik Cerrahi ve Metabolik Cerrahi alanlarında hizmet vermektedir. Bu yıllarda 8000'den fazla obezite ve diyabet hastasını başarıyla tedavi ederek alanındaki başarısını kanıtlamıştır.